Combinación

COMBINACIÓN:

Es un arreglo u ordenación que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. Es decir, contabilizar los ordenamientos formados por “r” objetos seleccionados de un conjunto de “n” elementos en total, en donde no interesa el orden de sus elementos.

Entonces el número de variaciones que se forman en un conjunto de “n” elementos tomados “r” de ellos viene dado por:

$$ C_r^n = \frac {n!}{r!(n-r)!}  \qquad ,o \, también \qquad C_r^n= \frac{V_r^n}{P_r}  $$

Por ejemplo:

-En el conjunto de tres letras A, B, C, determinar cuántas COMBINACIONES se pueden formar.

De un conjunto de 3 elementos tomamos 2 de ellos.

Se forman las siguientes COMBINACIONES:

AB, AC, BC     $ \to $ TOTAL = 3

COMBINACIONES de un conjunto de 3 elementos tomados 2 de ellos.

$$C_2^3=\frac{3!}{2!(3-2)!}=3 \to Combinaciones $$

Como DIFERENCIA FUNDAMENTAL ENTRE UNA VARIACION Y UNA COMBINACIÓN tenemos que en la variación si importa el orden de los elementos mientras que en una combinación tal orden no se considera, por ejemplo, al momento de considerar los ordenamientos en el ejercicio anterior el ordenamiento AB y el ordenamiento BA se consideran ordenamientos iguales y solo se tomará uno de ellos, concluyendo así que dos ordenamientos se consideran distintos si difieren al menos en un elemento.

-¿Cuántos grupos de cinco personas se pueden formar de un total de ocho personas?

Al formar los grupos no importa el orden, así que se trata de combinaciones.

De un conjunto de 8 personas tomamos 5 de ellas.

$$ C_5^8= \frac{8!}{5!(8-5)!} = 56 \to Combinaciones $$

-Si hay doce personas elegibles, ¿de cuántas maneras se puede formar un comité de cuatro personas?

De un conjunto de 12 personas tomamos 4 de ellas.

$$ C_4^{12}= \frac{12!}{4!(12-4)!} = 495 \to Combinaciones $$

-Un alumno tiene que contestar ocho de 10 preguntas en un examen. ¿de cuántas maneras distintas puede el alumno escoger las ocho preguntas?

No importa el orden.

De un conjunto de 10 preguntas tomamos 8 de ellas.

$$ C_8^{10} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = 45 \to Combinaciones $$